mercoledì 13 febbraio 2013

LE MIE SOLUZIONI DELLA GARA DELLE CLASSI PRIME

   


1) In quanti modi, in una scacchiera 8 x 8, posso scegliere un sottoinsieme non vuoto di caselle a forma di rettangolo? (tra le scelte valide vanno contate anche l'intera scacchiera e i rettangoli costituiti da una sola casella)

SOLUZIONE :


Per individuare un rettangolo basta fissare due rette verticali e due rette orizzontali tra le 9 disponibili. Si usa il :coefficiente binomiale. Le due rette verticali possono essere scelte in coeff(9,2) modi e cosi anche le due rette orizzontali, per cui il numero dei rettangoli è: coeff(9,2)x coeff(9,2)=1296

tra questi rettangoli ci sono anche i quadrati.

2)In quanti modi diversi posso mettere insieme la quantità di 1 euro utilizzando solo monetine da l, 2 e 5 centesimi? 

SOLUZIONE: 541 
deve essere: x + 2y + 5z = 100
notare che x = 100 − 5z − 2y è determinato per ogni coppia (y,z) tali che 2y + 5z ≤ 100 ossia y≤50-5z/2
Se z=2t (pari t varia da 1 a 10) allora y≤50-5t. Per ogni valore di z pari ci sono (50 − 5t + 1) valori di y
Se z è dispari z=2t+1 (t varia da 0 a 9) sostituendo si ottiene
y≤47+1/2 -5t e allora  per ogni z dispari ci sono (47 − 5t + 1) valori validi di y
somma per t=0 a 10 di  (51 − 5t) + somma da 0 a 9 di (48-5t) si ottiene 541
  
3) Un numero intero positivo verrà detto buono se soddisfa entrambe le seguenti proprietà:
(a) contiene solo le cifre "1", "2", "3" e "4", ciascuna almeno una volta;
(b) permutando le sue cifre non si può mai ottenere un numero più piccolo.
Quanti sono i numeri buoni di 6 cifre? 


SOLUZIONE: 10
Perchè soddisfi la condizione b) le cifre si devono presentare in ordine crescente . Tre cifre devono essere 1 2 3 4. Rimango due scelte per i rimanenti. Le due scelte si possono ottenere in questi modi: 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44 
ossia:
111234, 112234, 112344, 122234, 122334,122344, 123334, 123344, 123444      

4)In un recinto ci sono struzzi, tori e unicorni (gli unicorni sono animali con 4 gambe e un solo corno sulla testa).
Sappiamo che in tutto ci sono 100 teste, 364 gambe e 141 corna. Quanti sono gli unicorni?


SOLUZIONE: 23
basta risolvere il sistema
x+y+z=100
2x+4y+4z=364
2y+z=141

5)Dato un rettangolo ABC D, aumentando sia la base che l'altezza di l centimetro, si ottiene che l'area aumenta di 187 cm².
Qual è il perimetro di ABCD?


SOLUZIONE: 372
A=(x+1)(y+1) con x e y i lati
=xy+x+y+1 allora x+y+1=187 allora ...

6) Per dipingere un muro, Luca impiega 8 ore, mentre Paolo, che è più lento, per fare lo stesso lavoro ci metterebbe il doppio
del tempo. Se decidono di lavorare insieme, quanto tempo impiegheranno a dipingere il muro?


SOLUZIONE: 5h 20'
le velocità di esecuzione sono v1=1/8 e v2=1/16
t=1:(1/8 + 1/16)

7)Siano a = 2255 e b = 2256. Qual è la cifra delle unità del minimo comune multiplo di a e b? 

SOLUZIONE: 0
2255=5x41x11
2256=2^4x3x47
mcm=5x41x11x16x3x47= 5x1x1x6x3x7 mod10=0 mod10

8)Claudia e Luca fanno il gioco seguente: all 'inizio Claudia mette sul tavolo una pila costituita da non più di 200 monete,
poi a turno, cominciando da Luca, ciascun giocatore, a sua scelta, toglie 7 monete oppure aggiunge 4 monete alla pila. Perde chi si ritrova a dover muovere con la pila vuota.

Qual è il massimo numero di monete che Claudia può mettere sul tavolo se vuole essere sicura di poter vincere la partita, qualsiasi siano le mosse che farà Luca? 

 SOLUZIONE:200
4x-7y<=200 ossia x<=50+7y/4 allora y=4 e x=57 e il numero di monete è 4x-7y=200

9)Nel ristorante "Allo Zoo" i pasti sono formati da un secondo, un contorno e un bicchiere di vino. Il secondo piatto può essere scelto tra pesce gatto, pescecane e bistecca; il contorno tra patate arrosto, insalata e peperoni; il vino tra bianco, rosso e rosato, Chi ordina pesce non può bere vino rosso.
Quanti sono le possibili composizioni di un pasto? 


SOLUZIONE : 21
abbiamo 3 secondi, 3 contorni e 3 vini
in totale sarebbero 27 pasti ma da questi bisogna togliere quelli con pesce+vino che sono 2x3x1=6

10) Alberto ha dimenticato la combinazione della sua cassaforte, ma si ricorda che era un numero di quattro cifre, tutte diverse da zero e non necessariamente diverse tra loro, e che la somma della prima e dell'ultima cifra è 9, mentre la somma della seconda e della terza è 7. Quanti tentativi dovrà fare, al massimo, per aprire la cassaforte?   

SOLUZIONE: 48
poniamo abcd la combinazione con a+d=9 e b+c=7
Il primo casi lo si ottiene con: 1+8 2+7 3+6 4+5 -->8 casi
il secondo: 1+6  2+5 3+4 sono 6
6x8=48

11)Luca ha molte palline (più di .100 ma meno di 1000) e prova a metterle in scatole delia capienza di 6 palline ciascuna.
Scopre però che, così facendo, l'ultima scatola non viene riempita per intero, ma con solo 5 palline. Lo stesso succede se, invece di usare scatole da 6 palline, usa tutte scatole da 7 palline, oppure tutte scatole da 8 palline, oppure tutte scatole da 9 palline: nell'ultima scatola finiscono sempre esattamente 5 palline.
Quante palline ha Luca? 


SOLUZIONE:509
Risulta: x=5 mod 6, x=5 mod7, x=5 mod8, x=5 mod9
mcm(5,6,7,8,9)=504
Allora x=5 mod504
x=504k+5 e deve essere  k=1
 
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