GARA A SQUADRE DI MATEMATICA SCUOLA MEDIA 1°ANNO DEL LICEO
3 DICEMBRE 2012 CENTRO DIREZIONALE LEOPARDI MAJORANA
ARGOMENTI UTILI:
Numeri primi e fattorizzazione di numeri naturali, criteri di divisibilità, mcm, MCD, geometria piana , equazioni di primo grado, teorema di Pitagora, percentuali, proporzionalità diretta e inversa, media aritmetica, rappresentazione decimale, logica, calcolo combinatorio senza uso di formule e somma dei primi n numeri naturali.
TESTO GARA
SOLUZIONI GARA BIENNIO 1 DICEMBRE 2011 LICEO LEOPARDI
MAJORANA
1) STAZIONE DEGLI AUTOBUS 240
Si calcola l’mcm tra 6=3*2 10=5*2 e 16=2^4 --> mcm= 3*5*16=240’=4h 4*60=240m
2) CENA ALLA SEZIONE AUREA: 106
3)A SCUOLA IN BICI! 9
4) IN PISCINA 49
5) DA UNA SEDE ALL'ALTRA 720
6) LABORATORIO DI SCIENZE 1200
ovvio
7)CURA MEDICA 120
8)RISTRUTTURAZIONE 26
9)ESAMI DI RIPARAZIONE 3
10) RITARDI IN CLASSE: 100
11)CAMPANELLA: 1200
Ho 6+7+8+9+10+11+12=63 e sono mezzogiorno e sono passate 7 mezzore
63+7=70
12)ESAME DI AMMISSIONE 25
Pietro raggiunge l’80% di risposte giuste rispondendo correttamente a tutte le
domande tranne 5. Questo equivale a dire che 5 domande sono il 20% del totale, quindi le domande sono 25. Oppure ESSENDO n=10+x+5 e x le domande rimanenti
80/100 *(10+X+5)=10+X risolvendo si trova x=10
Tot 10+10+5
13)FESTA D'ISTITUTO 65
Sia n numero maschi e m numero femmine
X1+….+xn+y1+y2+…+ym=29(n+m)
34n+23m=29(n+m)
5n=6m
14)LAVORO DI GRUPPO 20
Le scelte di 2 alunni su 5 sono 10
ABCDEF
Siano AB i due impreparati
I casi favorevoli sono le terne con AB che sono 4
ABC
ABD
ABE
ABF
I casi favorevoli sono 20
15)OROLOGIO DI CLASSE: 69
A parte la partenza dal 12 la lancetta dei secondi supera quella dei minuti ogni
minuto quindi basta calcolare il numero di minuti che sono 70 e togliere il numero
delle ore cioè 1
Quindi 69
16)BIBLIOTECA: 506
Quadrati da 1 : 36
Quadrati da 2 : 25
:
Quadrati da 11: 121
1+4+….+121 somma dei primi undici quadrati
17)GIARDINO PUBBLICO
Basta osservare che le parti rimanenti A+B formano la stessa area quadrata
del laghetto e quindi il quadrato è formato da 5 aree uguali S : 5S=100² ı S=2000
18)LA PASSWORD: 30
si contano i casi
19)COMPITO DI LATINO: 328
Per le prime 10 da 1 a 9 pagine si usano 9 cifre
Per le pagine da 10 a 99 si usano 90*2=180 cifre
Per le pagine da 100 a 999 si usano 900*3=2700 cifre
Quindi il numero di pagina non supera 999
Supponiamo siano 9+180+3*x=876
X=229
Allora le pagine sono 99+229=328
20)SOMMA CIFRATA: 198
Si calcola l’mcm tra 6=3*2 10=5*2 e 16=2^4 --> mcm= 3*5*16=240’=4h 4*60=240m
2) CENA ALLA SEZIONE AUREA: 106
Posto X il numero di invitati avremo:
X ≤ 150
Quindi X-1 è multiplo sia di 7 di 3 che di 5.
Il più piccolo multiplo di 7, 3 e 5 è il minimo comune multiplo 3×5×7 (perché 3, 5, 7 sono numeri primi). Quindi X = 3×5×7 +1 = 106
3)A SCUOLA IN BICI! 9
In novembre vi sono 30 giorni
12 giorni sono stati belli e quindi 18 sono stati brutti.
Il 50% di 30 è 15 giorni di pioggia mentre il 40% è 12 di freddo
15+12-18=9 giorni di freddo e pioggia
4) IN PISCINA 49
Si ha 3/7x+7=4/7
5) DA UNA SEDE ALL'ALTRA 720
1-3/8-1/2=1/8
1/8x=90 allora x=90*8=720
6) LABORATORIO DI SCIENZE 1200
ovvio
7)CURA MEDICA 120
12=2²*3
8=2³
20=2²*5
mcm=2³*3*5
1/3 di aula all’ora per piero
1/6 di aula all’ora per il figlio
1/3+1/2=1/2 di aula all’ora
13: 1/2=26 ore
9)ESAMI DI RIPARAZIONE 3
N STUDENTI /TEMPO= 1 studente/minuto sono quelli promossi da 1 insegnate e mezzo
In 30 minuti gli studenti promossi da 1 insegnante e mezzo sono 30
Quindi per avere il doppio di promossi ossia 60 devo avere il doppio degli insegnati ossia 3
10) RITARDI IN CLASSE: 100
Consideriamo 12 volte
1 volta su 3 ritarda à 12*1/3=4
4 ritardo e 8 puntuale
1 volta su 4 delle 8 puntuale significa che 2 volte si attarda al bar
e 6 volte è puntuale
Su 200 giorni di scuola è arrivato puntuale 100 volte
11)CAMPANELLA: 1200
Ho 6+7+8+9+10+11+12=63 e sono mezzogiorno e sono passate 7 mezzore
63+7=70
12)ESAME DI AMMISSIONE 25
Pietro raggiunge l’80% di risposte giuste rispondendo correttamente a tutte le
domande tranne 5. Questo equivale a dire che 5 domande sono il 20% del totale, quindi le domande sono 25. Oppure ESSENDO n=10+x+5 e x le domande rimanenti
80/100 *(10+X+5)=10+X risolvendo si trova x=10
Tot 10+10+5
13)FESTA D'ISTITUTO 65
Sia n numero maschi e m numero femmine
X1+….+xn+y1+y2+…+ym=29(n+m)
34n+23m=29(n+m)
5n=6m
14)LAVORO DI GRUPPO 20
Le scelte di 2 alunni su 5 sono 10
ABCDEF
Siano AB i due impreparati
I casi favorevoli sono le terne con AB che sono 4
ABC
ABD
ABE
ABF
I casi favorevoli sono 20
15)OROLOGIO DI CLASSE: 69
A parte la partenza dal 12 la lancetta dei secondi supera quella dei minuti ogni
minuto quindi basta calcolare il numero di minuti che sono 70 e togliere il numero
delle ore cioè 1
Quindi 69
16)BIBLIOTECA: 506
Quadrati da 1 : 36
Quadrati da 2 : 25
:
Quadrati da 11: 121
1+4+….+121 somma dei primi undici quadrati
17)GIARDINO PUBBLICO
Basta osservare che le parti rimanenti A+B formano la stessa area quadrata
del laghetto e quindi il quadrato è formato da 5 aree uguali S : 5S=100² ı S=2000
18)LA PASSWORD: 30
si contano i casi
19)COMPITO DI LATINO: 328
Per le prime 10 da 1 a 9 pagine si usano 9 cifre
Per le pagine da 10 a 99 si usano 90*2=180 cifre
Per le pagine da 100 a 999 si usano 900*3=2700 cifre
Quindi il numero di pagina non supera 999
Supponiamo siano 9+180+3*x=876
X=229
Allora le pagine sono 99+229=328
20)SOMMA CIFRATA: 198
La cifra Z della somma è un riporto di una somma di tre cifre distinte, maggiorata eventualmente del riporto dalla somma delle unità. Ne segue che Z = 1 o Z = 2. (infatti le tre cifre possono essere al massimo 7+8+z<z*10
Se Z = 1, guardando le unità dei tre numeri concludiamo che necessariamente Y = 9.infatti se il risultato è x deve essere y+z=10 e quindi y=9 Considerando le decine (con il riporto dalle unità), deve
essere X+Y+Z= X + 9 + 1 + 1 = 19,(tenuto conto che c’è un riporto di 1 delle unità si ha 1+X+y+z=z*10+y 1+x+9+1=19 ) da cui X = 8.
Se Z = 2, le unit_a danno y+z=10 àY = 8, mentre le decine implicano X+8+2+1 =28, cioè X non può essere una cifra.
Concludiamo che solo il primo caso è possibile.
(Si noti che l'ipotesi che le tre cifre siano distinte fra loro non era necessaria.)
21) CASTELLO DI CARTE :155
N=1 : 2x1
N=2 : 2x1+2x2 oblique + 1 orizzontale
N=3: 2x1+2x2+2x3 obliq+ 1+2 orizzontali
:
2(1+2+…+n)+(1+2+…n-1)
osservare che per un castello di n piani occorrono 2x(1+2+3+…..+n) carte
“oblique” e (1+2+3+….+n-1) carte
“orizzontali”. Quindi, in tutto, [n(n+1)+(n-1)n]/2 = (3n2 + n)/2
10*(30+1)2=155
N=2 : 2x1+2x2 oblique + 1 orizzontale
N=3: 2x1+2x2+2x3 obliq+ 1+2 orizzontali
:
2(1+2+…+n)+(1+2+…n-1)
osservare che per un castello di n piani occorrono 2x(1+2+3+…..+n) carte
“oblique” e (1+2+3+….+n-1) carte
“orizzontali”. Quindi, in tutto, [n(n+1)+(n-1)n]/2 = (3n2 + n)/2
10*(30+1)2=155
22)AUTOBUS: 5
Se l’autobus per il centro passa x minuti dopo quello per il centro, la probabilità di
andare in centro e x/15. Infatti prende l’autobus per il centro solo se arriva nei x
minuti tra la partenza del primo per la periferia e l’arrivo di quello per il centro
mentre quella di andare in periferia è (15-x)/15.
Se lo prende 2 volte al mese per andare in centro la probabilità è 10/30 e quindi
x/15 = 10/30 = 1/3=5/15, allora x=5.
andare in centro e x/15. Infatti prende l’autobus per il centro solo se arriva nei x
minuti tra la partenza del primo per la periferia e l’arrivo di quello per il centro
mentre quella di andare in periferia è (15-x)/15.
Se lo prende 2 volte al mese per andare in centro la probabilità è 10/30 e quindi
x/15 = 10/30 = 1/3=5/15, allora x=5.
