100 prigionieri hanno la possibilità di essere liberati se riescono a vincere il seguente gioco. Al buio, a ciascuno verrà messo in testa un cappello rosso o nero secondo l'esito di un lancio equo di una moneta. Quando le luci saranno accese, ciascuno potrà vedere il colore dei cappelli degli altri ma non il proprio; non sarà consentita alcuna comunicazione tra i prigionieri. Ogni prigioniero dovrà scrivere la propria ipotesi sul colore del proprio cappello, e i prigionieri saranno liberati solo se tutti indovinano correttamente. I prigionieri hanno la possibilità di mettersi d'accordo ma solo in precedenza.
Qual è la strategia che rende massima la probabilità che tutti e 100 i prigionieri siano liberati? Quanto vale tale probabilità?
INFO: E' possibile commentare e proporre delle soluzioni. L'"indovinello del mese" non è una gara come la "gara di Bacheca" ma solo uno stimolo matematico. La soluzione verrà pubblicata il prossimo mese. Buon divertimento!
SOLUZIONE: La probabilità che un singolo prigioniero indovini il colore del proprio cappello senza alcuna strategia è 1/2. Se tutti provassero a indovinare indipendentemente, la probabilità che tutti ci riescano contemporaneamente sarebbe un mezzo elevato alla 100, praticamente nulla.
La strategia che massimizza la probabilità di salvezza consiste invece in un accordo a priori: tutti puntano sulla parità del numero di cappelli rossi (oppure neri). Ad esempio, decidono di puntare sul numero pari di cappelli rossi.
Quando le luci si accendono, ciascun prigioniero conta i cappelli rossi che vede:
se ne vede un numero dispari, scrive “rosso”;
se ne vede un numero pari, scrive “nero”.
Se il numero totale di cappelli rossi è effettivamente pari, allora tutti indovinano e si salvano; se invece è dispari, tutti sbagliano.
Poiché la parità del numero di cappelli rossi è equiprobabile (pari o dispari), la probabilità di salvezza è massima e pari a 1/2.
