Dimostra che la somma di 1 e il prodotto di quattro numeri interi consecutivi è sempre un quadrato perfetto, mentre la somma di cinque quadrati perfetti consecutivi non può mai essere un quadrato perfetto.
Venticinque ragazzi e venticinque ragazze sono seduti attorno a un tavolo circolare. Dimostra che è sempre possibile trovare una persona i cui due vicini siano ragazze.
Dimostrazione per assurdo
Supponiamo per assurdo che nessuna persona abbia due ragazze come vicine.
Allora ogni ragazza ha al massimo una ragazza accanto, e almeno un ragazzo come vicino.
Poiché ci sono 25 ragazze, e ciascuna ha almeno un ragazzo accanto, il numero totale di "ragazze accanto a ragazzi" è almeno 25.
Ma ogni ragazzo può avere al massimo due vicini, quindi può essere accanto a al massimo due ragazze.
Quindi il numero totale di "ragazze accanto a ragazzi" è al massimo 25 × 2 = 50.
Supponiamo per assurdo che nessuna persona abbia due ragazze come vicine.
Allora ogni ragazza ha al massimo una ragazza accanto, e almeno un ragazzo come vicino.
Poiché ci sono 25 ragazze, e ciascuna ha almeno un ragazzo accanto, il numero totale di "ragazze accanto a ragazzi" è almeno 25.
Ma ogni ragazzo può avere al massimo due vicini, quindi può essere accanto a al massimo due ragazze.
Quindi il numero totale di "ragazze accanto a ragazzi" è al massimo 25 × 2 = 50.
Ma attenzione: Se ogni ragazza ha esattamente un ragazzo accanto, allora ci sono 25 coppie ragazza-ragazzo.
E se ogni ragazzo ha esattamente una ragazza accanto, anche qui ci sono 25 coppie.
Questo implica che le ragazze e i ragazzi sono disposti alternati:
Ma in una disposizione alternata, ogni ragazzo ha due ragazze come vicine!
Questo contraddice l’ipotesi iniziale.
E se ogni ragazzo ha esattamente una ragazza accanto, anche qui ci sono 25 coppie.
Questo implica che le ragazze e i ragazzi sono disposti alternati:
Ma in una disposizione alternata, ogni ragazzo ha due ragazze come vicine!
Questo contraddice l’ipotesi iniziale.
